Типовой расчет по математике Физические приложения криволинейных интегралов Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Физические приложения поверхностных интегралов Теорема Стокса

Типовой по математике примеры решения задач курсового задания

Направление выпуклости графика функции.

Асимптоты графика функции

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Так как , то прямая  является для графика функции вертикальной асимптотой. При этом .

Найдём :

 .

Найдём теперь  :

,

следовательно, прямая   является для графика заданной функции наклонной асимптотой при . Точно также можно убедиться в том, что прямая  является наклонной асимптотой этого графика и при . Формы представления комплексных чисел. Алгебраическая форма.

Пример . Убедимся в том, что график параболы  не имеет асимптот. Действительно,  , следовательно, график данной функции не имеет наклонной асимптоты. Так как функция непрерывна на всей действительной оси, то её график не имеет и вертикальных асимптот.

Схема исследования графика функции

Для того чтобы исследовать график заданной функции, целесообразно решить следующие задачи.

1. Уточнить область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на каждом из которых функция либо всюду положительна, либо всюду отрицательна).

4. Найти точки разрыва (если они существуют) и выяснить характер разрыва.

5. Выяснить вопрос о существовании асимптот.

6. Найти интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти экстремумы функции.

8. Найти интервалы, на которых сохраняется определённое направление выпуклости графика функции, и точки перегиба графика.

Пример Исследовать график функции .

Решение.

1. Областью определения заданной функции служит вся действительная ось за исключением точки .

2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. При  и при   , при  , следовательно, график функции пересекает ось абсцисс в точках  и , а ось ординат пересекает в точке  . Для исследования интервалов знакопостоянства достаточно представить выражение, определяющее функцию, в виде  . Отсюда видно, что в интервалах  и  функция знакоположительна (), а в интервалах  и  – знакоотрицательна ().

4. Так как , то в точке  функция имеет разрыв второго рода.

5. Из рассуждений предыдущего пункта следует, что прямая  является вертикальной асимптотой. Выясним, имеет ли функция наклонную асимптоту:

.

Следовательно, функция имеет наклонную асимптоту .

6. Вычислим первую производную функции: .

Первая производная в интервалах  и  положительна, в интервалах  и  отрицательна, в точке  производная не существует. Следовательно, заданная функция в интервалах  и  является возрастающей, в интервалах  и  – убывающей.

7. В точках  и  , поэтому в этих точках функция имеет локальные экстремумы. Так как слева от точки  производная отрицательна, а справа – положительна, то в этой точке функция имеет локальный минимум, при этом значение функции в этой точке равно . В точке  функция имеет локальный максимум, так как слева от этой точки производная положительна, а справа отрицательна. При этом значение функции в этой точке равно .

8. Вычислим вторую производную: . В интервале  график функции имеет выпуклость, направленную вверх, в интервале  – выпуклость, направленную вниз, поскольку на первом из этих интервалов , а на втором . Точек перегиба график не имеет, так как вторая производная нигде не равна нулю, а в точке , где не существует второй производной, сама функция не определена.

График этой функции изображён на рисунке 8.

В качестве примера рассмотрим динамическую модель Вальраса устойчивости рынка. Она формулируется следующим образом. Имеется несколько продавцов и несколько покупателей некоторого товара. Некий посредник объявляет цену p на товар, после чего каждый продавец сообщает, сколько товара он может продать при такой цене. Суммарное количество товара, выставляемое на

продажу при данной цене, называется предложением и будет обозначаться S(p). Также каждый покупатель сообщает, сколько товара он собирается купить при данной цене. Сумма потребностей покупателей в дальнейшем будет называться спросом и обозначаться D(p). Введем понятие избыточного спроса E(p) как разности между спросом и предложением: E(p) = D(p) – S(p). Если E(p) ³ 0, цена растет до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие, которое определяется равенством спроса и предложения, то есть равенством  D(p) = S(p) или E(p) = 0. Если E(p) £ 0, то есть имеет место избыточное предложение, происходит снижение цены, пока не наступит равновесие. Здесь уместно сделать самое простое возможное предположение, заключающееся в том, что скорость изменения цены во времени пропорциональна избыточному спросу: малый избыточный спрос вызовет медленное увеличение цены товара, большой избыточный спрос – быстрое увеличение цены, малое избыточное предложение – медленное понижение цены и т. д. Отсюда следует уравнение

 .

Здесь k ‑ положительная константа, отражающая скорость процесса.

Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены: D(p) = a + bp и S(p) = g + dp. Тогда, приняв начальное условие p(0) = p0, будем иметь уравнение

 .

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, которое, как было показано выше, имеет решение

  ,

которое устойчиво, если b – d <0 и неустойчиво при b – d >0. Но b ‑ тангенс угла наклона кривой спроса, а d ‑ тангенс угла наклона кривой предложения, и если выполняется условие b – d <0 (которое верно при убывании спроса и возрастании предложения с ростом цены ), рынок устойчив, то есть избыточный спрос снижается и окончательно устраняется возрастающей ценой. Если b – d >0, рынок неустойчив: будет иметь место непрерывная и неограниченная инфляция.

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука,1982, ч.1; 1983, ч.2. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс. Под ред. А.Н.Тихонова. М.: Изд во МГУ, 1985. 662 с. 3. Задачник по курсу математического анализа под ред. Н.Я.Виленкина. М.:Просвещение,1971, ч.1 2. 4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука,1967, т.1 2. 5. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука,1973, т.1 2.
Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций